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Análisis dinámico

Introducción a la dinámica y al análisis dinámico

Isaac Newton fue uno de los físicos más importantes de la historia de la humanidad. Debido a sus grandes aportes al desarrollo científico en matemáticas y física. Entre estos, tenemos sus famosas y bien conocidas leyes de Newton. La segunda ley de Newton nos dice que las fuerzas adicionales de inercia son iguales a la masa multiplicada por la aceleración. Así, un análisis de estático puede describirse con dos cargas desplazándose, despreciando las fuerzas de inercia. Entonces, podemos decir que el análisis dinámico es una extensión del análisis estático.

La dinámica es una rama de la mecánica clásica que estudia las fuerzas y sus efectos en el movimiento. Como se ha dicho, Isaac Newton fue el primero en formular las leyes fundamentales de la física para la dinámica clásica no relativista. En particular, la dinámica está relacionada sobre todo con la segunda ley del movimiento de Newton. Sin embargo, se tienen en cuenta las tres leyes del movimiento porque están interrelacionadas en cualquier observación o experimento.

El análisis dinámico de los sistemas multicuerpo es el estudio de los movimientos como respuesta a fuerzas y momentos externos. Por lo tanto, conocer el movimiento del sistema y las fuerzas que lo gobiernan, es uno de los principales objetivos del análisis dinámico. De igual forma, este tipo de análisis incluye un proceso para estimar las fuerzas externas, dependientes de la posición relativa entre los componentes del sistema. Por ejemplo, aquellos generados por muelles, amortiguadores o actuadores. Además, deben considerarse las fuerzas que se generan como consecuencia de la interacción del sistema con el ambiente que lo rodea. Así, por ejemplo, tomar en cuenta las fuerzas de contacto o la fricción.

Análisis dinámico de mecanismos

El análisis dinámico de mecanismos determina el movimiento del mismo. De igual forma, el de las fuerzas externas y los esfuerzos internos en cada uno de sus elementos en cada posición de funcionamiento. Existe un método para esto:

Método de Newton

El método de Newton analiza un mecanismo considerando cada una de sus partes rígidas como un sólido rígido perfecto Así, plantea un sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento directamente basadas en las leyes de Newton. Una variación es introducir las coordenadas angulares. De esta forma, escribir algunas de las ecuaciones básicas del movimiento en términos de momentos de fuerzas básicas del método directo es:

Ecuación 1

Equilibrio dinámico

El equilibrio físico de fuerzas de un sistema de varios grados de libertad, concentrada en función de tiempo se puede expresar como:

Ecuación 2

Donde los vectores de fuerza en el tiempo t son:

  • F(t)I es el vector de las fuerzas de inercia actuantes sobre las masas modales.
  • El vector de fuerzas de amortiguamiento viscoso, de disipación de energía es F(t)D.
  • F(t)s: vector de fuerzas internas de la estructura.
  • F(t): vector de cargas aplicadas externamente.

Esta fórmula es válida para sistemas lineales como no lineales si el equilibrio se formula respecto a la geometría deformada de la estructura.

Análisis dinámico de estructuras

El análisis dinámico de estructuras es el análisis de las pequeñas vibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su posición de equilibrio. El análisis dinámico es importante porque el movimiento oscilatorio produce una modificación de las tensiones y deformaciones existentes. Por lo tanto, deben tenerse en cuenta para lograr un diseño sísmico, por ejemplo.

Para muchos sistemas estructurales la aproximación del comportamiento lineal de la estructura convierte la ecuación anterior (del equilibrio físico) al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, lineales, de segundo orden:

Ecuación 3

Donde M, C y K son matrices de masa concentrada, amortiguamiento viscoso y de rigidez estática, respectivamente. Los vectores dependientes del tiempo u, u’, u’’ son los desplazamientos nodales absolutos, velocidades nodales absolutas y aceleraciones nodales absolutas, respectivamente. Finalmente, F es el vector que representa las fuerzas equivalentes aplicadas sobre el mismo conjunto las variables anteriores. Este vector está asociado a la solicitación exterior que estimula la misma estructura.

El análisis dinámico estudia y modeliza estos tres aspectos:

  1. Análisis modal de frecuencias y modos de vibración. Los modos principales de vibración dependen de la geometría, materiales y configuración de una estructura.
  2. Análisis de solicitación exterior.
  3. Análisis de fuerzas dinámicas inducidas.

El problema de las resonancias

Todo sistema vibratorio realiza oscilaciones alrededor de una posición de equilibrio con una de serie de modos y periodos de vibración propios. Entonces, si inducimos una fuerza externa que actúe con uno de los periodos naturales se producirá una suma de amplitudes de las vibraciones. En consecuencia, la amplitud del movimiento aumentará progresivamente y hasta que se rompa el objeto o estructura. Por ejemplo, el conocido caso de romper una copa de cristal usando impulsos sonoros. Haga click aquí para saber más acerca de las vibraciones mecánicas y la resonancia.

En muchos casos es muy difícil para un cantante hallar la frecuencia de resonancia y lograr romper una copa. No obstante, se puede lograr usando altavoces. El análisis dinámico estudia fenómenos similares.
Figura 1. Claro ejemplo de resonancia actuando en un objeto.

Otro ejemplo, el caso del puente colgante de Tacoma Narrows. El 7 de noviembre de 1940, este puente fue abatido constantemente por vientos de 60km/h. Naturalmente, esa velocidad de viento no es tan fuerte, pero las ráfagas aplicadas coincidieron con la frecuencia de resonancia de torsión del tablero del puente. Como consecuencia, la suma de amplitudes de vibración fue tan alto que colapsó los materiales del puente hasta derrumbarse.

Se observa los efectos de la resonancia sobre estructuras más resistentes. Así, nos demuestra la importancia del análisis dinámico para previnir desastres.
Figura 2. Caída del puente Tacoma Narrows.

Resumen

Entonces, vimos la importancia los inicios del estudio de análisis dinámicos por parte de Isaac Newton. Además, vimos cómo las fuerzas interactúan y dan sentido físico y matemático a fenómenos complejos. De esta forma, podemos entender cómo estos fenómenos físicos toman lugar en el mundo real y pueden causar desastres o ayudar a cómo prevenirlos.

En resumen, conocer las herramientas matemáticas es de suma importancia para entender el análisis dinámico. No obstante, en la actualidad existen herramientas computarizadas destinadas a simplificar los cálculos e incluso correr simulaciones exactas de una situación. Así, aseguramos prevenir cualquier falla. Sin embargo, dominar las herramientas matemáticas es vital para todo profesional, ya que no queda dependiente de otras herramientas externas y entender la física le hará ver el mundo desde una perspectiva más amplia. 

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