Introducción a los Modelos Probabilísticos de la Función de Confiabilidad (R(t))

Resumen. Para el análisis de confiabilidad de los equipos, se requieren una serie de datos estadísticos de fallas que nos permitan predecir su comportamiento, por lo que es necesario el análisis de una serie de variables aleatorias positivas. Estas variables generalmente definen el comportamiento desde el tiempo transcurrido entre un instante que determina el origen del proceso, y otro que fija el final del mismo. En base a este comportamiento, podemos determinar una función o modelos probabilísticos del mismo.

1. Instrucción

Este documento describe en forma muy básica y esquemática, para las personas que se están introduciendo en el mundo de la confiabilidad, cómo se deben determinar los modelos probabilísticos de una función de confiabilidad para componente, equipos y sistemas en base a los datos estadísticos históricos de fallas de los mismos.

1.1. Análisis de Datos

El análisis de los datos es el principal paso para poder determinar las funciones probabilísticas, los datos estadísticos en la mayoría de los casos requieren un manejo y una revisión previa, debido a que tienden a ser escasos, poco confiables o inexactos, por lo que  la recopilación de información es sumamente crítica, ya que se van a procesar de una u otra forma para llegar a resultados confiables.

Recopilar datos significa obtenerlos mediante bases de datos de fallas o a través de mediciones, muestreos, encuestas, etc. Una vez que hemos recopilado los datos, tenemos que representarlos o expresarlos en forma de gráficos, tablas, texto o combinando las anteriores, de manera que sea más fácil su análisis.

Resulta oportuno mencionar que esos datos (ya representados), los agruparemos de forma que nos dé una distribución representativa del conjunto de datos. Estos valores representativos se denominan estadísticos o descriptivos e incluyen parámetros importantes que permiten su análisis. Un ejemplo de cómo podemos realizar un análisis de datos empieza con la recolección de los mismos mostrada en la tabla No. 1, observamos el tiempo de vida (duración en horas) de 20 componentes en un periodo dado.

Tabla 1
Tabla No.1

Podemos agrupar los tiempos de vida de los componentes en base a su frecuencia de ocurrencia, como se muestra en la tabla No. 2.

Tabla 2
Tabla No.2

El análisis de los datos una vez agrupados nos permite conocer información de los mismos como, por ejemplo:

Ecuación 1
Ecuación 1

Adicionalmente, podemos realizar una representación gráfica, como se observa en el histograma de la Fig. No.1.

Figura No. 1
Figura No. 1

La observación de los datos (Fig. No.2) y el análisis de los mismos, es el eje principal para cualquier análisis estadístico y probabilístico.

Figura No. 2
Figura No. 2

Entonces, una de las primeras cuestiones que tenemos que definir a la hora de planificar la recolección de los datos, es determinar el universo de mediciones, que nos den una verdadera representación de los parámetros o población a analizar y al cual vamos a definir, desde el punto de vista de la estadística, como nuestro universo. Este conjunto de elementos lo vamos a aislar del resto en función de las relaciones mutuas entre ellos o de determinadas características del sistema que estamos sometiendo a estudio estadístico. Sólo así adquieren sentido los valores que se obtienen de la estadística. Por ejemplo, si decimos que 519.26 es el mayor valor y ha ocurrido una sola vez, esto nos da una información relevante.

Por supuesto, hay casos en los que es imprescindible analizar la totalidad de los datos para tener una idea muy clara del comportamiento del sistema. En algunos casos, los métodos de muestreo nos permiten garantizar que tenemos una muestra representativa de la población.

1.2. Modelos Probabilísticos

Modelo probabilístico o estadístico es la forma que pueden tomar un conjunto de datos obtenidos de muestreos con comportamiento que se supone aleatorio.

Un modelo estadístico es un tipo de modelo matemático que usa la probabilidad, y que incluye un conjunto de asunciones sobre la generación de algunos datos muestreables, de tal manera que asemejen a los datos de una población mayor.

Un modelo estadístico queda especificado por un conjunto de ecuaciones que relacionan diversas variables aleatorias, y en las que pueden aparecer otras variables no aleatorias. Un ejemplo de un modelo probabilístico de duración de vida de un componente, lo podemos observar en el siguiente histograma (Fig. No.3).

Figura No. 3
Figura No. 3

La gráfica, (histograma de frecuencias) puede interpretarse de la siguiente manera:

  • El valor de mayor probabilidad de vida es de 104 horas.
  • Sin embargo, valores como 160 y 480 horas, también son posibles de observar, pero tienen menor probabilidad de ocurrencia.
  • Por lo que podemos decir que, aunque es el mismo componente el tiempo de duración, tiene un grado de incertidumbre asociado en la vida real.

Por lo que podemos decir que la probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento y la frecuencia es un indicador de probabilidad, es por es que Si un evento “x” es muy frecuente => probabilidad de “x” es alta y si el evento “x” es poco frecuente=> probabilidad de “x” es baja.

A continuación, se muestra (Fig. No. 4) las características de las distribuciones probabilísticas:

Figura No. 4
Figura No. 4

Algunos ejemplos de las funciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos:

Variables aleatorias continuas:

  • Distribución Normal
  • Distribución Lognormal
  • Distribución Exponencial
  • Distribución de Weibull

Variables aleatorias discretas:

  • Distribución Binomial
  • Distribución Hipergonométrica
  • Distribución de Poisson

2. Modelos de Probabilísticos de Confiabilidad

Para el análisis de confiabilidad de componentes, equipos y sistemas, los modelos de confiabilidad se centran en el análisis de datos históricos de fallas, con el objetivo de determinar la probabilidad de supervivencia de los mismos.

La confiabilidad se define como la capacidad de un elemento para realizar una función requerida en determinadas condiciones durante un intervalo de tiempo determinado, estos modelos se encuentran dependiendo del tiempo.

2.1. Función de Confiabilidad

Las funciones que sirven para estudiar los datos de duración, las más utilizadas son funciones como la Función de Densidad, y la Función de Distribución.

Supongamos que T es una variable aleatoria no negativa y continua que representa el tiempo transcurrido entre el inicio de operación hasta la falla. Vamos a denominar f(t) a la Función de Densidad de Probabilidad de la variable T (PDF). (Fig. No. 5)

Figura No. 5
Figura No. 5
  • La PDF es la forma usual de representar una distribución de falla.
  • Las fallas no ocurren en tiempos determinados.
  • Ellas ocurren de forma aleatoria y según su distribución de probabilidad.

Como la densidad es igual a la masa por unidad de volumen, la densidad de probabilidad es la probabilidad de falla por unidad de tiempo.

Cuando es multiplicada por la longitud de un intervalo pequeño de tiempo ∆T en el instante t, el producto es la probabilidad de falla en ese intervalo. (Fig. No. 6)

Figura No. 6
Figura No. 6

La PDF es a menudo calculada a partir de los datos de fallas reales. El histograma de las fallas de un equipo en intervalos de vida.

Todas las otras funciones relacionadas con la confiabilidad de un equipo se pueden derivar de la PDF, por ejemplo:

El área Σ (∆t x f(t)) debajo de la curva PDF entre 0 y el tiempo t1 es la probabilidad (acumulada) F(t) de que falle antes de t1. (Fig. No. 7)

Figura No. 7
Figura No. 7

F(t) es la función de distribución acumulada (CDF). Es el área bajo la curva f(t) de 0 a t. (alguna veces llamada la no confiabilidad o probabilidad de falla acumulada).

Ecuación 2
Ecuación 2

La probabilidad de que un componente sobreviva/funcione más allá de un instante t, viene determinada por la Función de Supervivencia, que en el ámbito de la confiabilidad recibe el nombre de Función de confiabilidad (Reliability Function):

Ecuación 3
Ecuación 3

R(t) es una función continua, monótonamente decreciente y tal que:

Ecuación 4
Ecuación 4

Estos resultados indican que la confiabilidad en el tiempo t=0 es igual a 1, y la confiabilidad cuando el tiempo tiende a infinito es cero.

La función de confiabilidad proporciona la probabilidad de que un componente, equipo o sistema esté funcionando al cabo de t horas. Así, si un componente tiene una función de Confiabilidad:

Ecuación 5
Ecuación 5

Quiere decir que la probabilidad de que el componente siga funcionando al cabo de 760 horas es de 95%.

Esta es la probabilidad de funcionamiento libre de falla o  sea que sobrevivan sin falla transcurrido el mismo  tiempo t. Representando por el área bajo la curva t hasta infinito.  R(t)= 1- F(t).

2.2. Abreviaturas y Acrónimos

Algunas abreviaturas específicas utilizadas son:

  • FPR: Función Probabilística de Confiabilidad
  • CDF: Función de Distribución Acumulada
  • PDF: Función de Densidad de Probabilidad
  • R(t): Función de Probabilidad de Confiabilidad

3. Conclusiones

La determinación de las Funciones Probabilísticas de Confiabilidad es el resultado principal del análisis de datos estadísticos de fallas, por lo que la recolección y análisis de los mismos pueden influir en la determinación de dichas funciones. Una mala selección de la FPR influiría en forma determinante en los análisis de confiabilidad de los componentes, equipos y sistemas y por ente en una errónea selección de las estrategias de inversión y mantenimiento.

Referencias

  • [1]   Teresa Villagarcía – Fiabilidad. Paper.
  • [2]   Pita Fernández S, Pértega Díaz, S. Estadística descriptiva de los datos: Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística. Complexo Hospitalario Juan Canalejo. A Coruña. Actualización 06/03/2001.
  • [3]   Larry H. Crow, Ph.D. Crow Reliability Resources, Inc. Madison, AL 35758 USA, crowrel@knology.net.
  • [4]   Petroleum, petrochemical and natural gas industries — Collection and exchange of reliability and maintenance data for equipment (ISO 14224:2016).

Autor: Arquimedes Ferrera Martinez
E&M Solutions
Gestión de Activos y Confiabilidad
Villahermosa, Tabasco México
Correo: arquimedes.ferrera@eymsolutions.com 

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