Vibraciones Mecánicas

Vibraciones Mecánicas

Las vibraciones mecánicas son un fenómeno presente en todos los objetos que nos rodean y forman parte de nuestro día a día. Por ejemplo, objetos como ventiladores, motores, altavoces, etc.

Un movimiento vibratorio es la variación de configuración de un sistema, en relación al tiempo y en torno a una posición de equilibrio estable. Se caracteriza por ser periódico; por ejemplo, el movimiento armónico simple.

Los sistemas mecánicos responden variando su estado de equilibrio al ser sometidos a la acción de fuerzas variables respecto al tiempo. En consecuencia, presentan cambios de configuración al perturbar su funcionamiento normal. Por tal motivo, el mantenimiento predictivo se interesa por medir las vibraciones de un sistema para determinar sus posibles fallas y atacarlas antes de que sucedan.

Tipos de vibraciones

Podemos considerar como un modelo de movimiento armónico simple a un bloque de masa m unido al extremo de un resorte. Suponemos que el bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando el bloque no está estirado ni comprimo se dice que se encuentra en una posición de equilibrio del sistema. Esto se identifica como x = 0. Luego, cuando el bloque se desplaza a una posición x, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza proporcional a la posición. Esto se conoce como ley de Hooke y se expresa como: 

Fs = – kx

Fs = fuerza restauradora, porque siempre se dirige a la posición de equilibrio. Por lo tanto, es opuesta al desplazamiento del bloque.

k = constante de fuerza del resorte.

Como se mencionó anteriormente, las vibraciones se representan mediante un movimiento armónico simple usando un sistema de masa y resorte, y puede clasificarse en dos tipos:

  • las vibraciones libres: donde ninguna acción externa es aplicada al sistema a lo largo del tiempo;
  • las vibraciones forzadas: cuando una acción es aplicada directamente al sistema a lo largo del tiempo, además de fuerzas internas;

Ambas pueden subdividirse en vibraciones amortiguadas o sin amortiguamiento.

1. Vibración mecánica libre sin amortiguamiento

Si aplicamos la segunda ley de Newton al sistema bloque-resorte de la ley de Hooke, nos queda:

La ley de Hooke es importante para describir las vibraciones mecánicas.
Ecuación 1

Recordando que:

Aceleración en términos de derivadas repecto a la posición y la velocidad, respectivamente.
Ecuación 2

Luego, la aceleración se expresa como:

Aceleración aplicada en vibraciones mecánicas si se sustituye en la ley de Hooke.
Ecuación 3

Si representamos k/m usando ω2 nos queda:

Se sustituyen las variables.
Ecuación 4

Así, la aceleración se puede escribir de la forma:

Ecuación 5

Finalmente, encontrando una función que satisfaga la ecuación diferencial de segundo grado y sea una representación de una partícula en función del tiempo, la solución general es:

Posición representada respecto al tiempo. Como vimos, para entender las vibraciones mecánicas debemos poseer conocimientos básicos de ecuaciones diferenciales y diversas herramientas matemáticas.
Ecuación 6

Donde:

A = amplitud de la onda;

ϕ = ángulo de fase inicial de la onda o constante de fase;

ω = frecuencia angular;

Así, este tipo de vibraciones cumple con el principio de la conservación de la energía mecánica. Esta dice “la suma de la energía cinética y el potencial elástico es constante e igual a la energía total comunicada inicialmente al sistema”.

Representación gráfica del movimiento armónico simple (MAS), el cual es vital para entender las vibraciones mecánicas.
Figura 1. Movimiento armónico simple.

2. Vibraciones mecánicas libres con amortiguamiento

Los movimientos oscilantes en la realidad pierden energía mecánica, ya que esta se disipa debido a la fricción. Por lo tanto, si dejamos oscilar libremente a un péndulo eventualmente dejara de oscilar. Este movimiento se conoce como amortiguado y se caracteriza porque la amplitud y la energía mecánica disminuyen con el tiempo.

La ecuación para el movimiento amortiguado es:

Ecuación para el movimiento armónico amortiguado (MAA).
Ecuación 7
Se observa cómo varía el tiempo de vibración dependiendo si el medio tiene un coeficiente de amortiguación alto o bajo. Las vibraciones mecánicas reales están sometidas a distintos coeficientes de amortiguación.
Figura 2. Representación del movimiento armónico amortiguado.

3. Vibraciones mecánicas forzadas sin amortiguamiento

Naturalmente, para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía de forma constante. Si se introduce energía al bloque-resorte a una tasa mayor a la que se disipa (mayor a la fricción) la energía aumenta con el tiempo. Como consecuencia, la amplitud del movimiento aumenta. Si la energía se induce proporcional al ritmo que se disipa entonces la amplitud permanece constante.

La ecuación del movimiento con una fuerza periódica es:

Ecuación 8

Donde:

F0 = amplitud.

ω = frecuencia de la fuerza externa o excitadora.

En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos. Un armónico natural de frecuencia ωn y otro exterior de frecuencia ω. La amplitud del primer armónico depende de las condiciones iniciales y se anula para ciertos valores particulares. Entonces, la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión denominada factor de resonancia. Esto es:

Factor de resonancia
Ecuación 9

Además de lo explicado, tenemos otros fenómenos influyentes en las vibraciones mecánicas. Entre esos tenemos:

Batimiento

El batimiento es un fenómeno producido en vibraciones mecánicas cuando la frecuencia natural del sistema ωnadquiere un valor próximo a la frecuencia exterior ω. Esto es, en el caso donde:

Ecuación 10

Para el impulso inicial nulo:

Ecuación 11

Se obtiene:

Ecuación 12

Esto describe un movimiento armónico de frecuencia ωn de amplitud armónica. Esto es, la amplitud F0 crece hasta un máximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo esto de forma periódica.

Suma de dos ondas con frecuencias ligeramente distintas. El batimiento es un fenómeno común en las vibraciones mecánicas.
Figura 3. El batimiento se produce con la suma de dos ondas con frecuencias ligeramente distintas.

Resonancia

Una de las características más importantes de las vibraciones mecánicas es la resonancia. Esta se da cuando la fuerza excitadora de la vibración tiene unas determinadas frecuencias ω para cada sistema dado. Y así, produciendo cambios de configuración de los sistemas mecánicos hasta alcanzar amplitudes considerablemente grandes y causando daños estructurales del material. La resonancia puede darse incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas, ya que depende de las características del material sometido a vibración.

Un ejemplo de esto es si un cantante de opera rompe una copa con su voz. Cuando la frecuencia exterior (voz del cantante) es igual a la fuerza natural del sistema ω = ωn, se produce la resonancia y la amplitud aumenta. En consecuencia, la copa se quiebra. Esto se describe matemáticamente como:

Movimiento armónico de la frecuencia resonante con amplitud t tendiendo al infinito.
Ecuación 13

Expresión que corresponde al movimiento armónico de frecuencia ωn y cuya amplitud t tiende al infinito:

Ecuación 14

No obstante, es importante resaltar que no todos los efectos de resonancia son perjudiciales o destructivos. En muchas aplicaciones es de interés seleccionar y amplificar una frecuencia e particular. Por ejemplo, resonancias eléctricas para sintonizar frecuencias de radio o TV; frecuencias ópticas para los láseres; y aplicaciones acústicas en la medicina como la destrucción de cálculos renales.

Observemos cómo en cierta frecuencia la amplitud aumenta con tendencia al infinito. En las vibraciones mecánicas, la resonancia es un fenómeno bastante destructivo.
Figura 4. La amplitud de una frecuencia con tendencia al infinito.

1. Vibraciones mecánicas forzadas con amortiguamiento

Asimismo, la vibración forzada amortiguada es el caso de vibración mecánica más complejo. En este fenómeno participan factores como la fuerza perturbadora que induce el movimiento en el sistema. Además, los componentes elásticos en el medio que responden a la perturbación aplicada. En estos casos, se supone que la fuerza de amortiguamiento es inferior al crítico para que resulte la vibración.

La ecuación del movimiento de una vibración mecánica con amortiguamiento con fuerza periódica:

Ecuación 15

Es de la forma:

Vibración mecánica con fuerza periódica.
Ecuación 16

Transmisión de las Vibraciones Mecánicas

Cuando un sistema vibra, según la ecuación:

Ecuación 17

La fuerza transmitida pasado el primer periodo transitorio es:

Ecuación 18

Esto se trata de una fuerza armónica de frecuencia igual a la de la fuerza aplicada ω, de amplitud f0 y desfase Θ1, siendo:

Ecuación 19

El coeficiente de transmisibilidad es la relación entre las amplitudes máximas de la fuerza aplicada y transmitida, cuya expresión matemática es:

Ecuación 20

Resumen

Como vimos, las vibraciones mecánicas son fenómenos bastante complejos y requieren de conocimientos en el área de física y herramientas matemáticas, como las ecuaciones diferenciales.

En el área de mantenimiento predictivo es importante conocer cómo funcionan las vibraciones mecánicas y los efectos que estas tienen en los equipos, sistemas, estructuras y procesos. De esta forma, podremos aplicar correctamente las herramientas de medición de vibraciones para poder detectar cualquier indicio de problema a tiempo. Haga click aquí para conocer más acerca de los análisis de vibraciones.

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